Следствие из А1.
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и при том только одна.
Док-во:
1) Возьмем P лежащее на а, Q лежащее на а. P,Q,М не лежат на одной прямой (т.к М не лежит на а) следует (по А1) сущ-ет плоскость, одна альфа, проходящая через P лежащую на альфа, Q лежащую на альфа, следует (по А2) PQ лежат в альфа, но PQ лежит на а, следует а лежит в альфа.
2) Допустим, что через прямую а и точку М проходит плоскость B, тогда P и Q лежат в В. Получили, что через MPQ проходят две плоскости, а по А1 это невозможно.
Следствие из А2.
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и при том только одна.
Док-во:
1) Возьмем N лежащее на в Рассмотрим Е (повернутая)альфа, N лежит в альфа, а лежит в альфа, альфа – единственная. М лежит в альфа, N лежит в альфа следует (по А2) b лежит в альфа.
2) а лежит в альфа и b лежит в альфа следует N лежит в альфа.
3) N лежит в альфа, а лежит в альфа следует альфа – единств.
Теорема о параллельности прямых.
Через любую точку в пространстве, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и при том только одна.
Д-во:
1)М не лежит на а следует (по Сл 1) проведем плоскость Е(повернутая) | М лежит в альфа, а лежит в альфа.
2) В плоскости альфа по Теореме из планиметрии проходит единственная в | М лежит на в, в || а.
Лемма. Если одна из двух || прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
Теорема. Если две прямые || третьей прямой, то они ||.
Признак || прямой и плоскости.
Если прямая, не лежащая в данной плоскости || какой-нибудь прямой, лежащей в данной плоскости, то она || этой плоскости.
Док-во:
1) Пусть a не || альфа, тогда а лежит в альфа или а пересекает альфа.
2) по условию а не лежит в альфа.
3) Если а пересекает альфа, то т.к. в||а, значит в пересекает альфа (по лемме о двух || прямых), но по условию в лежит в альфа? Противоречие, а|| альфа.
Сл1. Если плоскость проходит через данную прямую, || другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей || данной прямой.
Сл2. Если одна из двух || прямых || данной плоскости, то другая прямая либо так же || данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.
Признак скрещивания прямых.
Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.
Док-во:
1) Пусть АВ и CD не скрещиваются, тогда они лежат в одной плоскости В
2) следует A,B,C,D лежат в одной плоскости В, но через ABC проходит альфа =B
3) следует D лежит в альфа, но по усл. CD пересекает альфа в точке C, противоречие. AB __(c точкой сверху) CD.
Теорема об углах с сонаправленными сторонами.
Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны!
Док-во:
1) O1B1=ОВ, О1А1=ОА
2) ОВВ1О1 – пар-м (лучи ОВ и О1В1 – сонаправ. По признаку ОВ=О1В1) следует ВВ1=ОО1 и ВВ1 || ОО1
3) ОАА1О1 – пар-м (лучи ОА и О1А1 – сонаправл. По признаку ОА=О1А1) следует ОО1=АА1, ОО1||АА1
4) Из 2) и 3) следует АА1||ВВ1 и АА1=ВВ1 следует ВАА1В1- пар-м следует АВ=А1В1 и АВ||А1В1
5) Из 1) и 4) следует треуг. ОАВ = треуг. О1А1В1 (по трем сторонам) следует угол О= углу О1.
Признак || плоскостей.
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Рассмотри альфа и В. а лежит в альфа, в лежит в альфа, а пересекается с в в точке М. а1 лежит в В, в1 лежит в В, а||а1 и в||в1.
Допустим альфа не || В, тогда они пересек. в точке с следует (по Св1) а||c и b||c. Следует а||в||с а пересекает в = с. (по Т о || прямых) не возможно. Альфа || В.
Св1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.
Св2. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.
Ответы на вопросы.
1. Верно ли утверждение: если две прямые не имеют общих точек, то они параллельны? Нет, не всегда.
2. Точка М не лежит на прямой а. Сколько прямых, не пересекающих прямую а, проходит через точку М? множество! Сколько из этих прямых параллельны прямой а? одна!
3. Прямые а и с параллельны, а прямые а и в пересекаются. Могут ли прямые в и с быть параллельными? Нет.
4. Прямая а параллельна плоскости альфа. Верно ли, что эта прямая:
А) не пересекает ни одну прямую, лежащую в плоскости альфа. Да, не имеют общих точек.
Б) параллельна любой прямой, лежащей в плоскости альфа. Нет, не любой.
В) параллельна некоторой прямой, лежащей в плоскости альфа. Да, по признаку || прямой и плоскости.
5. Прямая а параллельна плоскости альфа. Сколько прямых, лежащих в плоскости альфа, параллельны прямой а? множество! Параллельны ли друг другу эти прямые, лежащие в плоскости альфа? Да.
6. Прямая а пересекает плоскость альфа. Лежит ли в плоскости альфа хоть одна прямая, параллельная а? Нет, если одна прямая пересекает, то и вторая прямая тоже.
7. Одна из двух параллельных прямых параллельна некоторой плоскости. Верно ли утверждение, что и вторая прямая параллельна этой плоскости? Нет, есть случай, что прямая лежит в альфа.
8. Верно ли утверждение: если две прямые параллельны некоторой плоскости, то они параллельны друг другу? Нет, могут скрещиваться.
9. Две прямые параллельны некоторой плоскости. Могут ли эти прямые:
А) пересекаться? Нет, нет общих точек.
Б) быть скрещивающимися? Да, если через две пересекающиеся прямые проходит плоскость || данной.
10. Могут ли скрещивающиеся прямые а и в быть параллельными прямой с? Нет, если две прямые параллельны, то они параллельны третьей между собой.
11. Боковые стороны трапеции параллельны плоскости альфа. Параллельны ли плоскость альфа и плоскость трапеции? Да, по признаку параллельности плоскостей.
12. Две стороны параллелограмма параллельны плоскости альфа. Параллельны ли плоскость альфа и плоскость параллелограмма? Да, если эти стороны имеют общую вершину. Нет, если они параллельны.
13. Могут ли быть равны два непараллельных отрезка, заключенные между параллельными плоскостями? Будут, если они окажутся диагоналями прямоугольника.
14. Существует ли тетраэдр, у которого пять углов граней прямые? Нет, всего 4 грани, каждые треугольник, где не может быть прямых углов.
15. Существует ли параллелепипед, у которого:
А) только одна грань – прямоугольник. Нет, противоположные грани равны.
Б) только две смежные грани, ромбы. Нет, если есть смежные будут и параллельные.
В) Все углы граней острые. Нет, потому что сумма смежных углов = 180 градусов.
Г) Все углы граней прямые. Так как грань параллелограмма существует и острый угол.
Д) Число всех острых углов граней не равно числу всех тупых углов граней? Нет, они равны.
16. Какие многоугольники могут получиться в сечении:
А) тетраэдра. Получится треугольник.
Б) Параллелепипеда. От 3 угольника до 6 угольника!
нам сказали с объяснениями,полными ответами и объяснить почему................................... 
